\subsection{完全平方公式}\label{subsec:6-8}

我们来计算
$$ (a + b)^2 \nsep (a - b)^2 \douhao $$
得
\begin{align*}
        & (a + b)^2 \\
    ={} & (a + b) (a + b) \\
    ={} & a^2 + ab + ab + b^2\\
    ={} & a^2 + 2ab + b^2 \douhao \\
        & (a - b)^2 \\
    ={} & (a - b) (a - b) \\
    ={} & a^2 - ab - ab + b^2\\
    ={} & a^2 - 2ab + b^2 \juhao \\
\end{align*}

由此得到
\begin{center}
    \framebox{\quad $\begin{aligned}[t]
        (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \douhao \\
        (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \juhao
    \end{aligned}$ \;}
\end{center}

这就是说， \zhongdian{两数和（或差） 的平方， 等于它们的平方和， 加上（或者减去）它们的积的 2 倍。}
这两个公式就是\zhongdian{完全平方公式。}

这两个公式可以分别从图 \ref{fig:6-3} 和图 \ref{fig:6-4} 中看出。

\begin{figure}[H]%[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds2-ch6-3}
    \caption{}\label{fig:6-3}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds2-ch6-4}
    \caption{}\label{fig:6-4}
    \end{minipage}
\end{figure}

对于两数和（或差） 的平方，就可以运用上述公式来计算。 例如，计算
$$ (x + 2y)^2 \nsep (2x - 5y)^2 \juhao $$
如果在 $(x + 2y)^2$ 中，把 $x$ 看成 $a$，把 $2y$ 看成 $b$，
在 $(2x - 5y)^2$ 中，把 $2x$ 看成 $a$，把 $5y$ 看成 $b$，那么
$$ (x + 2y)^2 \nsep (2x - 5y)^2 $$
就分别是
$$ (a + b)^2 \nsep (a - b)^2 $$
的形式。因此，可用完全平方公式来计算，即
\begin{align*}
    & (x + 2y)^2 \; = \quad x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 \juhao \\[1em]
    \tikz [overlay, >=Stealth] {
        \draw [dashed] (-1em, -1em) rectangle (4em, 1.5em);
        \draw [<->] (.7em, .8em) -- (.7em, 2.5em);
        \draw [<->] (2.4em, .8em) -- (2.4em, 2.5em);
    }
    & (a + b)^2\phantom{x}  \; = \quad
    \tikz [overlay, >=Stealth] {
        \draw [dashed] (-.5em, -1em) rectangle (9em, 1.5em);
        \draw [<->] (.3em, .8em) -- (.3em, 2.5em);
        \draw [<->] (2.4em, .8em) -- (2.4em, 2.5em);
        \draw [<->] (4.0em, .8em) -- (4.0em, 2.5em);
        \draw [<->] (5.4em, .8em) -- (5.4em, 2.5em);
        \draw [<->] (7.6em, .8em) -- (7.6em, 2.5em);
    }
    a^2 + 2 \hspace*{1em} a \hspace*{1em} b \; + \; b^2 \\[1em]
    & \qquad = x^2 + 4xy + 4y^2 \douhao \\
    & (2x - 5y)^2 \; = \; (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 \juhao \\[1em]
    \tikz [overlay, >=Stealth] {
        \draw [dashed] (-1em, -1em) rectangle (4.5em, 1.5em);
        \draw [<->] (.7em, .8em) -- (.7em, 2.5em);
        \draw [<->] (2.9em, .8em) -- (2.9em, 2.5em);
    }
    & (a - \phantom{x} b)^2\phantom{x}  \; = \quad
    \tikz [overlay, >=Stealth] {
        \draw [dashed] (-.5em, -1em) rectangle (10em, 1.5em);
        \draw [<->] (.3em, .8em) -- (.3em, 2.5em);
        \draw [<->] (2.9em, .8em) -- (2.9em, 2.5em);
        \draw [<->] (4.5em, .8em) -- (4.5em, 2.5em);
        \draw [<->] (6.0em, .8em) -- (6.0em, 2.5em);
        \draw [<->] (8.6em, .8em) -- (8.6em, 2.5em);
    }
    a^2 \hspace*{.5em} - 2 \hspace*{1em} a \hspace*{1em} b \; + \;\; b^2 \\[1em]
    & \qquad = 4x^2 - 20xy + 25y^2 \juhao
\end{align*}\vspace*{1em}


\liti 运用完全平方公式计算：
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLine{\xxt{$(-b^2 + 4a^2)^2$}；}{\xxt{$\left(y + \dfrac{1}{2}\right)^2$。}}

\resetxxt
\jie \xxt{$\begin{aligned}[t]
        & (-b^2 + 4a^2)^2 \\
    ={} & (-b^2)^2 + 2 \cdot (-b^2) \cdot 4a^2 + (4a^2)^2 \\
    ={} & b^4 - 8a^2b^2 + 16a^4 \douhao
\end{aligned}$ \\
或 \\
\hspace*{2em} $\begin{aligned}[t]
        & (-b^2 + 4a^2)^2 \\
    ={} & (4a^2 - b^2)^2 \\
    ={} & 16a^4 - 8a^2b^2 + b^4 \fenhao
\end{aligned}$
}

\xxt{$\left(y + \dfrac{1}{2}\right)^2 = y^2 + y + \dfrac{1}{4}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{运用完全平方公式计算：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$(a + 6)^2$；} & \xxt{$(4 + x)^2$；} \\
        \xxt{$(x - 7)^2$；} & \xxt{$(8 - y)^2$；} \\
        \xxt{$(3a + b)^2$；} & \xxt{$(4x + 3y)^2$；} \\
        \xxt{$\left(\dfrac{1}{2}x - 3y\right)^2$；} & \xxt{$(-a^2 - b)^2$；} \\
        \xxt{$(0.4x + 5y)^2$；} & \xxt{$\left(\dfrac{3}{4}x - \dfrac{2}{3}y^2\right)^2$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{下面各式的计算，错在哪里，为什么？应怎样改正？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$(a + b)^2 = a^2 + b^2$；} & \xxt{$(a - b)^2 = a^2 - b^2$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
\lianxijiange

\liti 运用完全平方公式计算：
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLine{\xxt{$102^2$}；}{\xxt{$199^2$。}}

\resetxxt
\jie \twoInLine[18em]{
    \xxt{$\begin{aligned}[t]
            & 102^2 \\
        ={} & (100 + 2)^2 \\
        ={} & 100^2 + 2 \times 100 \times 2 + 2^2 \\
        ={} & 10000 + 400 + 4 \\
        ={} & 10404 \fenhao
    \end{aligned}$}
}{
    \xxt{$\begin{aligned}[t]
            & 199^2 \\
        ={} & (200 - 1)^2 \\
        ={} & 200^2 - 2 \times 200 + 1^2 \\
        ={} & 40000 - 400 + 1 \\
        ={} & 39601 \juhao
    \end{aligned}$}
}

\end{xiaoxiaotis}


\liti 运用乘法公式计算：
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$(m + n) (m - n) (m^2 - n^2)$；}

    \xxt{$(a + b + c)^2$；}

    \xxt{$(x + 2y - 3) (x - 2y + 3)$；}

\begin{enhancedline}
    \xxt{$\left(\dfrac{x}{2} + 5\right)^2 - \left(\dfrac{x}{2} - 5\right)^2$。}\jiange
\end{enhancedline}


\resetxxt
\jie \xxt{$\begin{aligned}[t]
        & (m + n) (m - n) (m^2 - n^2) \\
    ={} & (m^2 - n^2) (m^2 - n^2) = (m^2 - n^2)^2 \\
    ={} & m^4 - 2m^2n^2 + n^4 \fenhao
\end{aligned}$}

\xxt{$\begin{aligned}[t]
        & (a + b + c)^2 \\
    ={} & [(a + b) + c]^2 \\
    ={} & (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2 \\
    ={} & a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \\
    ={} & a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \fenhao
\end{aligned}$}

\xxt{$\begin{aligned}[t]
        & (x + 2y - 3) (x - 2y + 3) \\
    ={} & [x + (2y - 3)] [x - (2y - 3)] \\
    ={} & x^2 - (2y - 3)^2 \\
    ={} & x^2 - (4y^2 - 12y + 9) \\
    ={} & x^2 - 4y^2 + 12y - 9 \fenhao
\end{aligned}$}

\begin{enhancedline}
\xxt{$\begin{aligned}[t]
        & \left(\dfrac{x}{2} + 5\right)^2 - \left(\dfrac{x}{2} - 5\right)^2 \\
    ={} & \dfrac{x^2}{4} + 5x + 25 - \dfrac{x^2}{4} + 5x - 25 \\
    ={} & 10x \juhao
\end{aligned}$}
\end{enhancedline}

\end{xiaoxiaotis}


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{运用完全平方公式计算：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$(2x + 1)^2$；} & \xxt{$(3y - 4)^2$；} \\
        \xxt{$91^2$；} & \xxt{$79.8^2$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{运用乘法公式计算：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$(x + 3) (x - 3) (x^2 - 9)$；} & \xxt{$(x + 6)^2 - (x - 6)^2$；} \\
        \xxt{$(a + 2b + c)^2$；} & \xxt{$(2a + b + 1) (2a + b - 1)$；} \\
        \xxt{$(a - 2b + 3c) (a + 2b - 3c)$；} & \xxt{$[(x + y)^2 + (x - y)^2] (x^2 - y^2)$；} \\
        \xxt{$[(x - 1) (x + 1)]^2$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}
\end{xiaotis}


